Линейный функционал - definizione. Che cos'è Линейный функционал
Diclib.com
Dizionario ChatGPT
Inserisci una parola o una frase in qualsiasi lingua 👆
Lingua:

Traduzione e analisi delle parole tramite l'intelligenza artificiale ChatGPT

In questa pagina puoi ottenere un'analisi dettagliata di una parola o frase, prodotta utilizzando la migliore tecnologia di intelligenza artificiale fino ad oggi:

  • come viene usata la parola
  • frequenza di utilizzo
  • è usato più spesso nel discorso orale o scritto
  • opzioni di traduzione delle parole
  • esempi di utilizzo (varie frasi con traduzione)
  • etimologia

Cosa (chi) è Линейный функционал - definizione

Линейный функционал

ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ         
обобщение понятия линейной формы на случай бесконечномерных пространств.
Линейный функционал         

обобщение понятия линейной формы (См. Линейная форма) на линейные пространства (См. Линейное пространство). Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

1) f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y),

где х и у - любые элементы из Е, α и β - числа;

2) f(x) непрерывна.

Непрерывность f равносильна требованию, чтобы было ограничено в Е; выражение называют нормой f и обозначают .

В пространстве С [a, b] функций α(t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой Л. ф. являются, например, выражения:

,

f2[((t)] = ((t0), a ( t0 ( b.

В гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство) Н Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l - любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.

Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.

Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство , если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство называют сопряжённым к ; это пространство играет большую роль при изучении Е.

С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если

для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ.

ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА         
форма 1-й степени, т. е. однородный многочлен 1-й степени от n переменных x1, x2,..., xn. Общий вид: ,где коэффициенты ai - постоянные.

Wikipedia

Линейная форма

Лине́йная форма, лине́йный функционал (также используются термины 1-форма, ковектор, ковариантный вектор) — линейное отображение, действующее из векторного пространства L {\displaystyle L} над полем K {\displaystyle K} в поле K {\displaystyle K} . Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:

Φ ( f + g ) = Φ ( f ) + Φ ( g ) , {\displaystyle \Phi (f+g)=\Phi (f)+\Phi (g),}
Φ ( α f ) = α Φ ( f ) {\displaystyle \Phi (\alpha f)=\alpha \,\Phi (f)}

для любых двух векторов f , g L {\displaystyle f,g\in L} и любого α K {\displaystyle \alpha \in K} . Таким образом, линейная форма (линейный функционал) является частным случаем понятия линейного оператора, действующего из одного векторного пространства в другое векторное пространство: L K M K {\displaystyle L_{K}\to M_{K}} , рассматриваемых над одним и тем же полем K {\displaystyle K} . Именно, в случае линейной формы (линейного функционала) векторное пространство M K = K {\displaystyle M_{K}=K} .

Термин линейная форма обычно используют в алгебре и алгебраической геометрии, чаще всего говоря при этом о конечномерных векторных пространствах. С алгебраической точки зрения линейная форма представляет собой частный случай более общего понятия k-формы при k=1.

Термин линейный функционал распространён в функциональном анализе, причем чаще всего речь идет о бесконечномерных векторных пространствах, элементами которых являются функции того или иного класса, и термин функционал подчеркивает то, что рассматривается функция (отображение), аргументом которой являются функции. В качестве поля K {\displaystyle K} чаще всего используются поля R {\displaystyle \mathbb {R} } или C {\displaystyle \mathbb {C} } .

Che cos'è ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ - definizione